Definujte pojem jádro matice
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice
A=(212−312212767),B=(3−1−1122−3015−5−1)A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & -3\\1 & 2 & 2 & 1\\2 & 7 &6&7\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & 1\\2 & 2 & -3 & 0\\1 & 5 &-5&-1\end{array}\right)A=212127226−317,B=321−125−1−3−510−1
Rozhodněte, zda Ker(AT)=R(BT)Ker(A^{T}) = R (B^{T})Ker(AT)=R(BT).
Rozhodněte, zda Ker(B)=R(A)Ker(B) = R (A)Ker(B)=R(A).
Máme polynomy v1=x2+x−2,v2=−2x2+3,v3=2x2+xv_{1} = x^{2} + x - 2, v_{2} = -2x^{2} + 3, v_{3} = 2x^{2} + xv1=x2+x−2,v2=−2x2+3,v3=2x2+x. Uvažujme dvě lineární zobrazení f,g:P2→R3f,g: P^{2} \to R^{3}f,g:P2→R3 zadaná:
f(v1)=(1,0,0)Tf(v_{1})=(1,0,0)^{T}f(v1)=(1,0,0)T,\quad
f(v2)=(0,1,0)Tf(v_{2})=(0,1,0)^{T}f(v2)=(0,1,0)T,\quad
f(v3)=(0,0,1)Tf(v_{3})=(0,0,1)^{T}f(v3)=(0,0,1)T
g(v1)=(1,2,3)Tg(v_{1})=(1,2,3)^{T}g(v1)=(1,2,3)T, \quad
g(v2)=(1,−2,1)Tg(v_{2})=(1,-2,1)^{T}g(v2)=(1,−2,1)T, \quad
g(v3)=(2,3,1)Tg(v_{3})=(2,3,1)^{T}g(v3)=(2,3,1)T
Spočítejte matici [g∘f−1]kan→B[ g \circ f^{-1} ]_{kan \to B}[g∘f−1]kan→B kde BBB je báze skládající se z vektorů (1,1,−2)T,(−2,0,3)T,(2,1,0)T(1,1,-2)^{T}, (-2,0,3)^{T}, (2,1,0)^{T}(1,1,−2)T,(−2,0,3)T,(2,1,0)T.
Rozhodněte, zda g∘f−1g \circ f^{-1}g∘f−1 zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:
a) Buď AAA dolní trojůhelníková matice. Pak ATAA^{T}AATA je zase dolní trojúhelníková matice.
b) Každou permutaci na nnn prvcích lze zapsat jako složení maximálně n−1n - 1n−1 transpozic.
c) Buď A∈Rm×nA \in R^{m \times n}A∈Rm×n. Pak rank(A)=m⇔Ker(A)=0rank(A) = m \Leftrightarrow Ker(A) = {0}rank(A)=m⇔Ker(A)=0
d) Lineární zobrazení f:U→Vf : U \to Vf:U→V je "na", právě tehdy když libovolnou bázi UUU zobrazí na bázi VVV
