Hladík 10.2.2011 - B

1. Definujte pojem jádro matice

Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice

2. $A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & -3\\1 & 2 & 2 & 1\\2 & 7 &6&7\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & 1\\2 & 2 & -3 & 0\\1 & 5 &-5&-1\end{array}\right)$

Rozhodněte, zda $Ker(A^{T}) = R (B^{T})$. Rozhodněte, zda $Ker(B) = R (A)$.

3. Máme polynomy $v_{1} = x^{2} + x - 2, v_{2} = -2x^{2} + 3, v_{3} = 2x^{2} + x$. Uvažujme dvě lineární zobrazení $f,g: P^{2} \to R^{3}$ zadaná:

• $f(v_{1})=(1,0,0)^{T}$,$\quad$ $f(v_{2})=(0,1,0)^{T}$,$\quad$ $f(v_{3})=(0,0,1)^{T}$

• $g(v_{1})=(1,2,3)^{T}$, $\quad$ $g(v_{2})=(1,-2,1)^{T}$, $\quad$ $g(v_{3})=(2,3,1)^{T}$

Spočítejte matici $[ g \circ f^{-1} ]_{kan \to B}$ kde $B$ je báze skládající se z vektorů $(1,1,-2)^{T}, (-2,0,3)^{T}, (2,1,0)^{T}$.

Rozhodněte, zda $g \circ f^{-1}$ zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:

a) Buď $A$ dolní trojůhelníková matice. Pak $A^{T}A$ je zase dolní trojúhelníková matice.

b) Každou permutaci na $n$ prvcích lze zapsat jako složení maximálně $n - 1$ transpozic.

c) Buď $A \in R^{m \times n}$. Pak $rank(A) = m \Leftrightarrow Ker(A) = {0}$

d) Lineární zobrazení $f : U \to V$ je "na", právě tehdy když libovolnou bázi $U$ zobrazí na bázi $V$

Nenapsal jsem to, měl jsem dost problémů... nemohl byste sem někdo v rámci tréninku vrazit řešení 3. příkladu?